Движение жидкостей и газов

(Все формулы — в СИ. Здесь “жидкость/газ” = сплошная среда; идеальная жидкость — несжимаема и без вязкости.)

1) Основные понятия

• Установившееся (стационарное) течение: поля $p$, $\rho$, $\vec v$ не зависят от времени в данной точке.
• Линия тока: кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором скорости.
• Расход (объёмный поток): $Q=\dfrac{\Delta V}{\Delta t}$, через сечение площади $S$: при почти равномерном профиле $Q\approx S\,v$.
• Массовый расход: $\dot m=\rho\,Q$.

2) Уравнение неразрывности (сохранение массы)

• Общее (для сжимаемой среды): $$\rho_1 S_1 v_1=\rho_2 S_2 v_2=\dot m=\text{const}.$$

3) Уравнение Бернулли (идеальная жидкость, установившееся течение вдоль одной линии тока)

$$p+\rho g h+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{const (вдоль линии тока)}.$$

• Термины: статическое $p$, гидростатический $\rho g h$, динамическое давление $q=\tfrac12\rho v^2$.

Важно: уравнение Бернулли не учитывает вязкость, вихри и тепловые эффекты; при реальном течении возникают потери напора.

4) Вязкость и ламинарное течение

• Динамическая вязкость $\eta$ (Па·с) связывает касательное напряжение и градиент скорости (закон Ньютона для вязкой жидкости): $$\tau=\eta\,\frac{du}{dy}.$$
• Течение Пуазёйля (длинная круглая труба, радиус $$, длина , ламинарно):

5) Переход к турбулентности. Число Рейнольдса

• Безразмерный критерий: $$\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\eta}\quad(\text{для трубы } D=2R).$$

6) Сопротивление движению тел в среде

• Малые скорости, малые $\mathrm{Re}$ (формула Стокса, сфера радиуса R): $$F_{d}=6\pi \eta R v.$$
• Большие $\mathrm{Re}$ (квадратичное сопротивление): где — характерная площадь, — коэффициент лобового сопротивления.

7) Сжимаемость газов

• Идеальный газ: $p=\rho R_{\text{уд}} T$ где $R_{\text{уд}}=R/M$.

8) Потери энергии и обобщённое уравнение Бернулли

Для реальных течений (вязкость, шероховатость) между сечениями 1–2: $p_1+\rho g h_1+\frac12\rho v_1^2=p_2+\rho g h_2+\frac12\rho v_2^2+\rho g\,h_f,$ где — (на трение и местные сопротивления). В инженерии используют формулы типа Дарси–Вейсбаха (не требуются в школьных задачах, но знать о потерях полезно).

9) Частые ошибки

• Подставляют в неразрывность $S v=\text{const}$ там, где $\rho$ меняется заметно (газ при больших перепадах $p$, T).
• Применяют Бернулли между точками, которые не лежат на одной линии тока, или при существенной турбулентности без поправок.
• Забывают, что рост скорости (в сужении) ведёт к падению статического давления.
• В задачах по Пуазёйлю путают зависимость $Q\propto R^4$ (очень сильная чувствительность к радиусу!).