Условие плавания тел

(Все формулы — в СИ. Давления гидростатики и сила Архимеда рассматриваются для покоящейся среды.)

1) Закон Архимеда и равновесие на плаву

• Сила Архимеда (выталкивающая):
  $F_A=\rho_\ell\,g\,V_{\text{погр}},$ где $\rho_\ell$ — плотность жидкости (или газа), $V_{\text{погр}}$ — объём погружённой части тела.
• Условие плавания (равновесие по вертикали):
  $mg=F_A=\rho_\ell g\,V_{\text{погр}}.$ Отсюда равна массе тела:

2) Доля объёма под водой и средняя плотность

• Для однородного тела объёма $V$ и плотности $\rho_t=\tfrac{m}{V}$: Следствия:

3) Осадка, водоизмещение, догрузка

• Водоизмещение (масса вытесненной жидкости):
  $M_{\text{выт}}=\rho_\ell V_{\text{погр}}=m.$

4) Плавание в двух слоях (две жидкости)

Если тело пересекает границу слоёв плотностей $\rho_1$ (верхний) и $\rho_2$ (нижний) и вытесняет объёмы $V_1$ и :

$$mg=\rho_1 g\,V_1+\rho_2 g\,V_2,\qquad V_1+V_2=V_{\text{погр}}.$$

Это позволяет находить, какая часть объёма уходит в нижний слой (качественно: более плотный слой «несёт» сильнее).

5) Влияние $g$ и ускоренных систем

В лифте с вертикальным ускорением $a$ эффективное $g_{\text{эфф}}=g\pm a$ и

$$mg_{\text{эфф}}=\rho_\ell g_{\text{эфф}}\,V_{\text{погр}} \ \Rightarrow\ \frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\rho_t}{\rho_\ell}.$$

=> Доля погружения не зависит от величины $g$ (при равномерном масштабировании), но сами силы меняются пропорционально $g_{\text{эфф}}$.

6) Устойчивость плавания (качественно)

• Центр тяжести $G$ — центр масс тела; центр плавучести $B$ — центр вытесненного объёма.
• При малом крене $B$ смещается; линия действия $F_A$ должна создавать восстанавливающий момент относительно $G$.

7) Температура/солёность и плавание

• Увеличение плотности среды (солёная/холодная вода вместо пресной/тёплой) уменьшает требуемый $V_{\text{погр}}$: $V_{\text{погр}}=\frac{m}{\rho_\ell} \ \downarrow \ \text{при росте }\rho_\ell.$

8) Типичные ошибки

• Подстановка в $F_A=\rho g V_{\text{погр}}$ плотности тела вместо плотности жидкости.
• Путаница $V_{\text{погр}}$ и (равны только при полном погружении).

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$F_A=\rho_\ell\,g\,V_{\mathrm{pogr}}$