Закон Архимеда

(Все формулы — в СИ. Жидкость/газ в покое, действие давления — перпендикулярно поверхности.)

1) Формулировка и смысл

Закон Архимеда: на всякое тело, полностью или частично погружённое в жидкость (или газ), действует направленная вверх выталкивающая сила (сила Архимеда), равная по модулю весу вытесненной телом жидкости (газа):

$$F_A=\rho_{\text{ср}}\,g\,V_{\text{выт}},$$

где $\rho_{\text{ср}}$ — плотность среды (жидкости/газа), $V_{\text{выт}}$ — объём вытеснённой среды, $g$ — ускорение свободного падения.

Происхождение: из гидростатического распределения давления $p=p_0+\rho g h$ давление снизу больше, чем сверху; интеграл по поверхности даёт конечный результирующий подъёмный напор $F_A$.

---

2) Полезные случаи

(а) Полное погружение (твёрдое тело целиком в жидкости)

$$F_A=\rho_{\text{ж}}\,g\,V,\qquad V=V_{\text{тела}}.$$

(б) Частичное погружение (плавание)

$$F_A=\rho_{\text{ж}}\,g\,V_{\text{погр}},\qquad V_{\text{погр}}\le V.$$

На плаву в равновесии $F_A$ уравновешивает вес: $m g=\rho_{\text{ж}}\,g\,V_{\text{погр}}\quad\Rightarrow\quad \frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\rho_{\text{тела}}}{\rho_{\text{ж}}}.$

---

3) «Видимый» вес (аппаратная масса в жидкости)

Сила тяжести $P=mg$ направлена вниз, сила Архимеда — вверх. Результирующая на весах (подвес, динамометр):

$$P_{\text{вид}}=P-F_A=mg-\rho_{\text{ж}}\,g\,V.$$

Если используется газ (воздух), действует малая аэростатическая подъёмная сила $F_A=\rho_{\text{возд}}\,g\,V$ (её часто учитывают при точных взвешиваниях).

---

4) Условия тонуть/всплывать/плавать

• Тонет: если $\rho_{\text{тела}}>\rho_{\text{ж}}$ (даже при полном погружении $F_A<mg$).

---

5) Определение плотности твёрдого тела (гидростатическое взвешивание)

Пусть $W_{\text{возд}}$ — вес в воздухе, $W_{\text{ж}}$ — «видимый» вес при полном погружении в жидкость плотности $\rho_{\text{ж}}$. Тогда

$$\rho_{\text{тела}}=\rho_{\text{ж}}\;\frac{W_{\text{возд}}}{W_{\text{возд}}-W_{\text{ж}}}.$$

---

6) Газы (аэростатика)

Для газов тот же закон:

$$F_A=\rho_{\text{г}}\,g\,V_{\text{выт}}.$$

Применения: аэростаты, гелиевые шары. Условие горизонтального полёта оболочки объёма $V$ и массы системы $m_{\Sigma}$:

$$\rho_{\text{возд}}\,g\,V = m_{\Sigma}g + \rho_{\text{газа}}\,g\,V.$$

Иначе: подъёмная сила «чистая» $F_A - m_{\text{газа}}g = (\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{газа}})\,g\,V$ должна равняться весу полезной нагрузки.

---

7) Центр давления и центр плавучести

• Центр плавучести — геометрический центр вытеснённого объёма; линия действия $F_A$ проходит через него, направлена вверх.
• Устойчивость плавания при малых кренах определяется взаимным расположением центра тяжести и центра плавучести (школьные задачи обычно не требуют расчёта метацентра).

---

8) Невесомость/ускоренные системы

В невесомости $(g_{\text{эфф}}=0)$ гидростатический напор отсутствует $\Rightarrow F_A=0$. В лифте с ускорением по вертикали можно использовать эффективное :

$$F_A=\rho_{\text{ср}}\,g_{\text{эфф}}\,V_{\text{выт}}.$$

---

9) Частые ошибки

• Подстановка плотности тела вместо плотности среды в формулу $F_A=\rho_{\text{ср}} g V_{\text{выт}}$.

---