Модель атома Томсона. Опыты Резерфорда

1) Модель Томсона (“пудинг с изюмом”)

• Атом — неразличимая сфера положительного заряда, внутри которой “вморожены” электроны (точечные отрицательные заряды).
• Электростатическое поле внутри однородно заряженной сферы растёт линейно с радиусом: $E(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}\quad(0\le r\le R),$ где $\rho$ — объёмная плотность положительного заряда, $R$ — радиус атома.
• Потенциальная энергия электрона в такой сфере квадратична по $r$ (похожа на гармонический осциллятор): $U(r)=\frac{1}{2}\,k\,r^2,\qquad k=\frac{e\,\rho}{3\varepsilon_0}.$
• Следствия и ожидания модели:
  • Слабое отклонение быстрых зарядов при пролёте через атом (распределённый позитив “смягчает” поле).
  • Попытка объяснить спектры как собственные колебания электронов в “эластичном” положительном облаке.

Проблемы:

• Не объясняет устойчивость и дискретность спектров (эксперимент даёт чёткие линейчатые спектры).
• Большие углы рассеяния быстрых $\alpha$ -частиц на тонких фольгах, обнаруженные позже, противоречат “размазанному” заряду.

---

2) Опыты Резерфорда (Гейгер—Мерсден, 1909–1911)

Схема: поток $\alpha$ -частиц (заряд $+2e$ , энергия порядка нескольких MeV) направляли на тонкую металлическую фольгу (например, золото). Отслеживали углы отклонения по вспышкам на экране.

Ключевые наблюдения:

1. Почти все частицы проходят почти без отклонения → большая часть атомного объёма “пустая”.
2. Небольшая доля частиц отклоняется на большие углы (до обратного направления) → существует компактный центр сильного положительного поля.

Выводы Резерфорда:

• Почти весь положительный заряд и почти вся масса сосредоточены в очень малом ядре.
• Электроны занимают околоядерное пространство; характерный атомный размер $\sim10^{-10}\,\text{m}$, характерный ядерный размер $\sim10^{-14}\text{–}10^{-15}\,\text{m}$.

---

3) Кулоновское рассеяние и формула Резерфорда

Модель: $\alpha$ -частица массы $m$ , заряда $z e$ рассеивается на точечном ядре заряда $Z e$ с кулоновским потенциалом: $U(r)=\frac{k\,Z z e^2}{r},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.$

• Связь параметра удара $b$ с углом рассеяния $\theta$: $b=\frac{k\,Z z e^2}{2E}\,\cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right),$ где — кинетическая энергия налетающей частицы.

Оценка «на радиус сближения» при лобовом столкновении $b=0$:

• Минимальная дистанция $r_{\min}$ следует из $E=U(r_{\min})$:

$$r_{\min}=\frac{k\,Z z e^2}{E}.$$

4) Рождение ядерной модели атома

• Ядро: компактный носитель положительного заряда $Z e$ и почти всей массы.
• Электроны: связаны кулоновским притяжением; классическая орбитальная модель требует развития (квантование, радиационная устойчивость → последующая модель Бора и квантовая механика).

---

5) Сопоставление моделей

| Признак | Томсон | Резерфорд (ядерная) | |---|---|---| | Распределение $+$ заряда | Равномерно по объёму | Сосредоточен в ядре | | Большие углы рассеяния | Практически невозможны | Естественны закон $\sin^{-4}$ | | Спектры | Не даёт дискретности | Требует квантовой теории электронов | | Пустота атома | Нет (заполнен зарядом) | Да (почти весь объём пуст) |

---

Ключевые формулы (сводка)

$E(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0},\qquad U(r)=\tfrac12 k r^2,\ \ k=\frac{e\,\rho}{3\varepsilon_0}$

$U(r)=\frac{k\,Z z e^2}{r},\quad b=\frac{k\,Z z e^2}{2E}\cot\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{k\,Z z e^2}{4E}\right)^2\frac{1}{\sin^4\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$

$r_{\min}=\frac{k\,Z z e^2}{E}$