📘 Логарифмы, их свойства. Тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений

---

🔹 Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию a где a > 0, $(a \neq 1$, $b > 0)$ называют такое число x, что:

$$\log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b$$

---

🔹 Основные логарифмические тождества

$$\log_a a = 1$$ $$\log_a 1 = 0$$ $$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$ $$\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y$$ $$\log_a x^n = n \log_a x$$ $$\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$$ $$a^{\log_a x} = x$$

---

🔹 Формула смены основания

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Наиболее часто используется:

$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$$

---

🔹 Показательные выражения

Показательная функция:

$$y = a^x, \quad a > 0,\ a \neq 1$$

Обратная ей функция — логарифмическая:

$$x = \log_a y$$

---

🔹 Тождественные преобразования

$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ $$\log_a a^x = x$$ $$\log_a \left( \sqrt[n]{x} \right) = \frac{1}{n} \log_a x$$

---

🔹 Примеры

$$\log_2 8 = 3 \quad \text{так как } 2^3 = 8$$ $$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$$ $$\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$$ $$\log_2 \left( \frac{8}{4} \right) = \log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1$$

---

❗ Условия существования логарифма

Для выражения $\log_a b$:

• $a > 0$, $a \neq 1$
• $b > 0$

---