📘 Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

---

🔹 Определение

Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения вида:

$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$

Где $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — числа, и — переменные.

---

🔹 Цель решения

Найти такие значения $x$ и $y$, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

---

🔹 Методы решения

✅ 1. Метод подстановки

1. Выразите одну переменную через другую из одного уравнения.
2. Подставьте это выражение в другое уравнение.
3. Найдите значение одной переменной.
4. Подставьте найденное значение и найдите вторую переменную.

Пример:

$x + y = 5$
$2x - y = 4$

Из первого уравнения:
$x = 5 - y$

Подставим во второе:
$2(5 - y) - y = 4$

Получаем:
$10 - 2y - y = 4 \Rightarrow 10 - 3y = 4 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$

Тогда:
$x = 5 - y = 5 - 2 = 3$

Ответ: $(x; y) = (3; 2)$.

---

✅ 2. Метод сложения (или вычитания)

1. Приведите уравнения к такому виду, чтобы при сложении или вычитании одна из переменных сократилась.
2. Сложите или вычтите уравнения.
3. Найдите оставшуюся переменную.
4. Подставьте её значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.

Пример:

$x + y = 5$
$x - y = 1$

Сложим уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 5 + 1$
$2x = 6 \Rightarrow x = 3$

Подставим $x = 3$ в первое уравнение:
$3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$

Ответ: $(x; y) = (3; 2)$.

---

✅ 3. Графический метод

1. Преобразуйте каждое уравнение к виду $y = kx + b$.
2. Постройте графики обоих уравнений (две прямые) на координатной плоскости.
3. Точка пересечения прямых — это решение системы. Её координаты $(x; y)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

---

🔹 Возможные случаи

1. Одно решение — прямые пересекаются в одной точке.
2. Бесконечно много решений — прямые совпадают (одно и то же уравнение, записанное по-разному).
3. Нет решений — прямые параллельны и не пересекаются.

---

🔹 Условие совместности и определённости системы

Рассмотрим систему:

$a_1x + b_1y = c_1$

Тогда:

• Если $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ — система имеет (прямые пересекаются в одной точке).

---