📘 Уравнения: алгебраические, логарифмические, показательные, тригонометрические, иррациональные

---

🔹 1. Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения — это уравнения, в которых переменные входят только в виде степеней.

Примеры:

• $x^2 - 5x + 6 = 0$
• $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$

Способы решения:

• Разложение на множители
• Формулы корней квадратного уравнения: $$ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

---

🔹 2. Показательные уравнения

Показательные уравнения содержат переменную в показателе степени.

Примеры:

• $2^x = 8$
• $3^{x+1} = 27$

Методы решения:

• Приведение к одному основанию
• Применение логарифмов: $$a^x = b \Rightarrow x = \log_a b$$

---

🔹 3. Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения содержат переменную под знаком логарифма.

Примеры:

• $\log_x 16 = 4$
• $\log_2 (x + 3) = 5$

Методы решения:

• Преобразование логарифма в показательную форму
• Использование свойств логарифмов
• Проверка ОДЗ (область допустимых значений):
  • подлогарифмическое выражение $> 0$
  • основание $> 0, \neq 1$

---

🔹 4. Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения содержат функции: $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x$

Примеры:

• $\sin x = \frac{1}{2}$
• $\cos(2x) = 0$

Методы решения:

• Табличные значения
• Формулы двойного угла, понижения степени
• Общее решение: $$\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$$

---

🔹 5. Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения содержат переменную под знаком корня.

Примеры:

• $\sqrt{x + 1} = 3$
• $\sqrt{2x - 1} = x$

Методы решения:

• Возведение обеих частей в квадрат
• Проверка корней (возможны посторонние!)
• Работа с ОДЗ:
  • подкоренное выражение $\geq 0$
  • результат после возведения в квадрат может давать лишние корни

---

❗ Важно помнить:

• Всегда проверяй ОДЗ при решении логарифмических и иррациональных уравнений.
• Для логарифмических уравнений: $\log_a b = c \Rightarrow a^c = b$
• Для показательных уравнений: $$

---