📘 Многочлены. Действия с многочленами. Формулы сокращённого умножения. Разложение многочленов на множители

---

🔹 Что такое многочлен?

Многочлен — выражение вида:

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$$

где:

-$x$ — переменная, -$a_i$ — коэффициенты, -$n$ — степень (целое неотрицательное число).

Примеры:

$2x^2 + 3x - 5$
$x^3 - 4x$
$$ — многочлен нулевой степени

---

🔹 Основные действия с многочленами

1. Сложение и вычитание: складываются (или вычитаются) одноимённые члены:

$$(3x^2 + 2x) + (x^2 - x) = 4x^2 + x$$

2. Умножение: применяется распределительное свойство:

$$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$$

3. Деление: обычно делим на одночлен (в ОРТ — только такие задачи).

---

🔹 Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

---

🔹 Разложение многочлена на множители

✅ Основные приёмы:

• Вынесение общего множителя:

$$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$

• Формулы сокращённого умножения:

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

• Группировка:

$$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$

---