📘 Тождественные преобразования алгебраических выражений. Выражения, содержащие модуль

---

🔹 Что такое тождественное преобразование?

Тождественное преобразование — это преобразование выражения, при котором оно не меняет своего значения при любых допустимых значениях переменных.

Примеры тождественных преобразований:

$(x + 2) + (x - 1) = 2x + 1$

$2(x + 3) = 2x + 6$

$3x + 5x = 8x$

---

🔹 Свойства тождеств

1. Переместительное свойство:

   $a + b = b + a$
   $ab = ba$

2. Сочетательное свойство:

   $(a + b) + c = a + (b + c)$

---

🔹 Выражения с модулем

Определение модуля числа.

Модулем числа $a$ называется число $|a|$, которое равно:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$.
• $|a| = -a$, если $a < 0$.

То есть модуль показывает расстояние числа $a$ от нуля на числовой прямой.

---

🔹 Свойства модуля

$|a| \ge 0$

$|-a| = |a|$

$|ab| = |a| \cdot |b|$

$\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$ при

$|a + b| \le |a| + |b|$ — неравенство треугольника

$|a - b| \ge \big||a| - |b|\big|$

---

🔹 Раскрытие модуля

Чтобы раскрыть модуль, нужно учитывать знак выражения под модулем.

Пример:

$|x - 3|$:

• если $x \ge 3$, то $|x - 3| = x - 3$.
• если $x < 3$, то .

---

🔹 Примеры

$|5 - 7| = |-2| = 2$

$|x| = x$, если $x \ge 0$

$|x^2 - 4x + 4| = |(x - 2)^2| = (x - 2)^2$, так как при любых .