📘 Рациональные числа и свойства арифметических действий

---

🔹 Что такое рациональные числа?

Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби

$\dfrac{m}{n}$

где $m$ и $n$ — целые числа, а $n \ne 0$.

Примеры рациональных чисел:

• целые: $-3$, $0$, $5$ (можно записать как $\dfrac{-3}{1}$, $$, )

Числа, которые нельзя представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем (например, $\sqrt{2}$ и $\pi$ ), не являются рациональными.

---

🔹 Запись рациональных чисел

Рациональное число можно записать:

• в виде обыкновенной дроби: $\dfrac{3}{5}$, $-\dfrac{11}{4}$
• в виде десятичной дроби: ,

Замечание. Одно и то же рациональное число можно записать разными дробями:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}$

---

🔹 Сравнение рациональных чисел

1. На числовой прямой большее число расположено правее меньшего.

2. Для положительных дробей с одинаковым знаменателем:

   если $a > b$, то $\dfrac{a}{n} > \dfrac{b}{n}$.

---

🔹 Арифметические действия с рациональными числами

1. Сложение и вычитание

Одинаковые знаменатели:

$\dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n} = \dfrac{a + b}{n}$

$\dfrac{a}{n} - \dfrac{b}{n} = \dfrac{a - b}{n}$

Разные знаменатели:

1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Выполнить сложение или вычитание.

Правило знаков:

• $a + (-b) = a - b$
• $a - b = a + (-b)$

---

2. Умножение

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$, где и .

Правило знаков при умножении:

• $+$ на $+$ даёт $+$
• $-$ на $-$ даёт $+$
• $+$ на (или наоборот) даёт

Примеры:

$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$

$-\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{7} = -\dfrac{6}{35}$

---

3. Деление

Деление заменяют умножением на обратное число:

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$, где , , .

Пример:

$\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$

---

🔹 Свойства арифметических действий (тождественные свойства)

Для любых рациональных чисел $a$, $b$, $c$ выполняются:

1. Переместительное (коммутативное) свойство

Сложение:

$a + b = b + a$

Умножение:

$ab = ba$

---

2. Сочетательное (ассоциативное) свойство

Сложение:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Умножение:

$(ab)c = a(bc)$

---

3. Распределительное свойство

$a(b + c) = ab + ac$

$a(b - c) = ab - ac$

---

4. Нулевой и единичный элементы

• Ноль: $a + 0 = a$, $a - 0 = a$
• Единица: $a \cdot 1 = a$

---

5. Противоположное и обратное число

• Для любого рационального $a$ существует противоположное число $-a$:

  $a + (-a) = 0$

• Для любого ненулевого рационального $a$ существует обратное число $$:

---