Иррациональные выражения. Арифметический корень. Действия с корнями

---

📘 КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

🔹 Арифметический корень

• Корень n-й степени из числа a:

  $$\sqrt[n]{a}$$

  — это такое число, которое в степени n даёт a.

• Арифметический корень — это только неотрицательный результат (по определению).

  Например:

  $$\sqrt{9} = 3,\quad \text{а НЕ } -3$$

---

🔹 Свойства квадратного корня

$$(при \ a≥0, b≥0)$$

1. Корень из произведения:

   $$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$

$$3. (\sqrt{a})^2 = a$$ $$4.\sqrt{a^2} = |a| — обязательно \ модуль, потому \ что\ корень\ не \ может \ быть \ отрицательным.$$

---

🔹 Сокращение и преобразование корней

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$

---

🔹 Рационализация знаменателя (избавляемся от корня внизу):

Пример:

$$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

---

🧮 ПРИМЕРЫ

Пример 1.

$$\sqrt{49} = 7$$

Пример 2.

$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$$

Пример 3.

$$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$$

Пример 4.

$$\sqrt{a^2} = |a|,\ \text{например: } \sqrt{(-5)^2} = 5$$

---