---

📘 Числовые неравенства и их свойства

---

🔹 1. Что такое числовое неравенство?

Неравенство — это выражение, показывающее, что одно число больше или меньше другого.

🔸 Основные знаки неравенства:

• $a < b$ — a меньше b
• $a > b$ — a больше b
• $a \le b$ — a меньше либо равно b
• $a \ge b$ — a больше либо равно b

Примеры:

• $3 < 7$
• $5 \ge 5$
• $-2 > -5$

---

🔹 2. Решение неравенств

Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно верно.

Пример:

Решим:

$$x + 4 < 10$$

Вычтем 4:

$$x < 6$$

Ответ: все числа меньше 6.

---

🔹 3. Свойства числовых неравенств

✅ Свойство 1: Одно и то же число можно прибавить или вычесть с обеих сторон

Если:

$$a < b$$

то:

$$a + c < b + c \quad \text{и} \quad a - c < b - c$$

---

✅ Свойство 2: Умножение или деление на положительное число

Если $c > 0$ и $a < b$, то:

$$a \cdot c < b \cdot c \quad \text{и} \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$

---

⚠️ Свойство 3: Умножение или деление на отрицательное число

❗ Знак неравенства меняется на противоположный!

Если $c < 0$ и $a < b$, то:

$$a \cdot c > b \cdot c \quad \text{и} \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$

---

🔹 4. Системы неравенств

Система неравенств — это несколько неравенств, решаемых одновременно.

Пример:

Решим:

$$2 < x \le 5$$

Ответ: все $x$ от 2 (не включая) до 5 (включая).

---

🔹 5. Объединение решений

Иногда неравенства объединяются по типу:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Это означает, что решения берутся из двух интервалов.

---

📌 Кратко

| Свойство | Пример | |------------------------------------|----------------------------------| | Прибавление/вычитание | $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ | | Умножение на положительное число | $a < b,\ c > 0 \Rightarrow ac < bc$ | | Умножение на отрицательное число | | | Система неравенств | — промежуток между a и b |